已知两定点F1(-0)F2(0)满足条||-||=2的点P的轨迹是曲线C直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点且|AB|=.(1)求曲线C的方程;(2)若曲线C上存在一点D使+=m求m的值及点D

Question

已知两定点F ₁ (- 0) F ₂ ( 0)满足条| |-| |=2的点P的轨迹是曲线C 直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点 且|AB|= .

(1)求曲线C的方程;

(2)若曲线C上存在一点D 使 + =m 求m的值及点D到直线AB的距离.

Answer 1

解:(1)由双曲线的定义可知曲线C是以F ₁ (- 0) F ₂ ( 0)为焦点的双曲线的左半支

且c= 2a=2 a=1 故b=1 所以轨迹C的方程是x ² -y ² =1(x＜0).

(2)设A(x ₁ y ₁ ) B(x ₂ y ₂ ) 由题意得方程组

消去y 得(1-k ² )x ² +4kx-5=0.

又已知直线与曲线C交于A、B两点 故有

解得- ＜k＜-1.

∵|AB|= |x ₂ -x ₁ |

= · =2 = ∴ .

设t=k ² 得7t ² -23t-20=0 (t-4)(7t+5)=0.

∴t=4 t= (舍去).

又由k ² =4 舍去k=2 得k=-2 于是直线AB的方程为y=-2x-2

即2x+y+2=0.

由 解得 .

不妨设 =（-1，0）， =（ ， ） 由 + =m 故有 =( ).

将D点坐标代入曲线C的方程 得 =1.解得m=± 但当m= 时 点D在双曲线右支上 不合题意 ∴m= .

点D的坐标为（ ) D到AB的距离为 .