已知曲线C:x^2-y|y|=1(|x|≤4)(1)若直线l:y=kx-1与曲线C有两个公共点,求k的取值范围.（2）若P为（0,p)(p>0）,Q为曲线C上的点,求|PQ|的最小值.

Question

已知曲线C:x^2-y|y|=1(|x|≤4) (1)若直线l:y=kx-1与曲线C有两个公共点,求k的取值范围.（2）若P为（0,p)(p>0）,Q为曲线C上的点,求|PQ|的最小值.

Answer 1

曲线C：x^2-y|y|=1 (|x|≤4) ,当0≤y时,得x^2-y^2=1,是双曲线的两段C'；当y≤0时,是圆x^2+y^2=1的下半圆C".设A(-1,0)、B(1,0)、C(-4,√15)、D(4,√15).（1） 若直线l:y=kx-1与曲线C有两个公共点,易知即0≤k0）,Q为曲线C上的点,当Q在C"上时,易知Q为A或B时,|PQ|最小.所以可设Q(m,n)在C'上,m^2-n^2=1,1≤|m|≤4,0≤n≤√15；|PQ|^2=m^2+(p-n)^2=2n^2-2pn+p^2+1=2(n-p/2)^2+(1/2)p^2+1.所以当0

2√15时,|PQ|最小值为√(31+p^2-2p√15).