已知sinβ+cosβ=15，β∈（0，π）（1）求tanβ的值；（2）求sin2β的值；（3）你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？

Question

已知sinβ+cosβ=(1)/(5)，β∈（0，π）
（1）求tanβ的值；
（2）求sin2β的值；
（3）你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？

Answer 1

（1）将已知等式sinβ+cosβ=(1)/(5)①，两边平方得：（sinβ+cosβ）²=1+2sinβcosβ=(1)/(25)，即2sinβcosβ=-(24)/(25)＜0，
∴（sinβ-cosβ）²=1-2sinβcosβ=(49)/(25)，
∵β∈（0，π），
∴sinβ＞0，cosβ＜0，即sinβ-cosβ＞0，
∴sinβ-cosβ=(7)/(5)②，
联立①②得：sinβ=(4)/(5)，cosβ=-(3)/(5)，
则tanβ=(sinβ)/(cosβ)=-(4)/(3)；
（2）∵sinβ=(4)/(5)，cosβ=-(3)/(5)，
∴sin2β=2sinβcosβ=2×(4)/(5)×（-(3)/(5)）=-(24)/(25)；
（3）∵sinβ=(4)/(5)，cosβ=-(3)/(5)，
∴cos2β=cos²β-sin²β=(9)/(25)-(16)/(25)=-(7)/(25)．