设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a2=4，a1a4=32，数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1b1+a2b2+…+anbn=（n-1）•2n+1+2．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）若集合M={n|bnbn+1an≥λ，n∈N*}

Question

设数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₂=4，a₁a₄=32，数列{b_n}满足：对任意的正整数n，都有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若集合M={n|(bnbn+1)/(an)≥λ，n∈N^*}中元素的个数为4，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₂=4，a₁a₄=32，
∴a₁q=4，a₁a₁q³=32
∴a₁=2，q=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
当n=1时，a₁b₁=（1-1）•2¹+2得b₁=1
当n≥2时由a₁b₁+a₂b₂++a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2①
得a₁b₁+a₂b₂+a_n-1b_n-1=（n-1-1）•2ⁿ+2②
①-②得a_nb_n=n•2ⁿ即b_n=n，
当n=1时也满足条件，∴b_n=n；
（2）(bnbn+1)/(an)=(n(n+1))/(2n)，
n=1，λ≤1；n=2，λ≤(3)/(2)；n=3，λ≤(3)/(2)；n=4，λ≤(5)/(4)；n=5，λ≤(15)/(16)
若n≥6时，λ≤(n(n+1))/(2n)恒成立，
令f（n）=(n(n+1))/(2n)，则当x≥6时，f（n）≥(21)/(32)，
∴λ≤(21)/(32)．
∵集合M中的元素个数为4，
∴(15)/(16)<λ≤1．