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例7、设平面内两向量a与b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又k与t是两个不同时为0的实数.(1)若求k关于t的函数关系式k=f(t);(2)试确定k=f(t)的单调区间第一小题的问题是,若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直
题目详情
例7、设平面内两向量a与b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又k与t是两个不同时为0的实数.
(1)若求k关于t的函数关系式k=f(t);
(2)试确定k=f(t)的单调区间
第一小题的问题是,
若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,试求k关于t的函数关系k=f(t)
还有一个问题就是,求f(t)的最小值!
(1)若求k关于t的函数关系式k=f(t);
(2)试确定k=f(t)的单调区间
第一小题的问题是,
若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,试求k关于t的函数关系k=f(t)
还有一个问题就是,求f(t)的最小值!
▼优质解答
答案和解析
(1)因为a、b互相垂直,故ab=0,
又x、y互相垂直,故xy=0,即(a+(t-3)b)(-ka+tb)=0
-ka^2-k(t-3)ab+tab+t(t-3)b^2=0
∵|a|=2,|b|=1,ab=0,a^2=4,b^2=1
∴-4k+t^2-3t=0
即k=f(t)=(t^2-3t)/4
(2)由(1)知,k=1/4(t-3/2)^2-9/16
∴当t=3/2时,函数的最小值为-9/16.
曲线为开口向上对称轴为t=3/2的u形线,(负无穷,3/2)为减区间,[3/2,正无穷)为增区间
又x、y互相垂直,故xy=0,即(a+(t-3)b)(-ka+tb)=0
-ka^2-k(t-3)ab+tab+t(t-3)b^2=0
∵|a|=2,|b|=1,ab=0,a^2=4,b^2=1
∴-4k+t^2-3t=0
即k=f(t)=(t^2-3t)/4
(2)由(1)知,k=1/4(t-3/2)^2-9/16
∴当t=3/2时,函数的最小值为-9/16.
曲线为开口向上对称轴为t=3/2的u形线,(负无穷,3/2)为减区间,[3/2,正无穷)为增区间
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