例7、设平面内两向量a与b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又k与t是两个不同时为0的实数.（1）若求k关于t的函数关系式k=f(t)；（2）试确定k=f(t)的单调区间第一小题的问题是，若x=a+（t-3）b与y=-ka+tb垂直

Question

例7、设平面内两向量a与b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又k与t是两个不同时为0的实数.
（1）若求k关于t的函数关系式k=f(t)；
（2）试确定k=f(t)的单调区间
第一小题的问题是，
若x=a+（t-3）b与y=-ka+tb垂直，试求k关于t的函数关系k=f（t）
还有一个问题就是，求f（t）的最小值！

Answer 1

(1)因为a、b互相垂直,故ab＝0,
又x、y互相垂直,故xy＝0,即(a＋(t－3)b)(－ka＋tb)＝0
－ka^2－k(t－3)ab＋tab＋t(t－3)b^2＝0
∵|a|＝2,|b|＝1,ab＝0,a^2=4,b^2=1
∴－4k＋t^2－3t＝0
即k＝f(t)＝(t^2-3t)/4
(2)由(1)知,k＝1/4(t-3/2)^2－9/16
∴当t＝3/2时,函数的最小值为－9/16.
曲线为开口向上对称轴为t=3/2的u形线,（负无穷,3/2）为减区间,[3/2,正无穷）为增区间