四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的面积取得最大时，表面积等于4+43，则球O的体积等于82π382π3．

Question

四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的面积取得最大时，表面积等于4+4√(3)，则球O的体积等于

(8√(2)π)/(3)

(8√(2)π)/(3)

．

Answer 1

由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，
∵该四棱锥的表面积等于4+4√(3)，
设球O的半径为R，则AC=2R，SO=R，如图，
∴该四棱锥的底面边长为 AB=√(2)R，
则有（√(2)R）2+4×(1)/(2)×√(2)R×√(((√(2)R)/(2))2+R2)=4+4√(3)，
解得R=

作业帮用户 2016-11-19 举报

问题解析

当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的表面积等于4+4√(3)，确定该四棱锥的底面边长和高，进而可求球的半径为R，从而可求球的体积．

名师点评

本题考点：

球内接多面体；球的体积和表面积．

考点点评：

本题考查球内接多面体，球的体积，解题的关键是确定球的半径，再利用公式求解．

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