如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）当α=60°时，求CE的长；（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若

Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE ² -CF ² 取最大值时，求tan∠DCF的值．

Answer 1

（1）∵α=60°，BC=10，
∴sinα= (CE)/(BC) ，
即sin60°= (CE)/(10) = (3)/(2) ，
解得CE=5

3

；

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．
理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，
∴AF=FD，
在平行四边形ABCD中，AB ∥ CD，
∴∠G=∠DCF，
在△AFG和△DFC中，

∠G=∠DCF

∠AFG=∠DFC(对顶角相等)

AF=FD

，
∴△AFG≌△DFC（AAS），
∴CF=GF，AG=CD，
∵CE⊥AB，
∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠AEF=∠G，
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，
∴AG=5，AF= (1)/(2) AD= (1)/(2) BC=5，
∴AG=AF，
∴∠AFG=∠G，
在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等），
∴∠CFD=∠AEF，
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF；

②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，
∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x，
在Rt△BCE中，CE ² =BC ² -BE ² =100-x ² ，
在Rt△CEG中，CG ² =EG ² +CE ² =（10-x） ² +100-x ² =200-20x，
∵由①知CF=GF，
∴CF ² =（ (1)/(2) CG） ² = (1)/(4) CG ² = (1)/(4) （200-20x）=50-5x，
∴CE ² -CF ² =100-x ² -50+5x=-x ² +5x+50=-（x- (5)/(2) ） ² +50+ (25)/(4) ，
∴当x= (5)/(2) ，即点E是AB的中点时，CE ² -CF ² 取最大值，
此时，EG=10-x=10- (5)/(2) = (15)/(2) ，
CE=

100- x 2

=

100-(25)/(4)

= (515)/(2) ，
所以，tan∠DCF=tan∠G= (CE)/(EG) = ((515)/(2))/((15)/(2)) = (15)/(3) ．