对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗

Question

对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: )为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为 (1≤a≤3).设用 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 ( ),用 质量的水第二次清洗后的清洁度是 ,其中 是该物体初次清洗后的清洁度.
(Ⅰ)分别求出方案甲以及 时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙,当 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

Answer 1

(Ⅰ)两种方案的用水量分别为19与4 +3.
因为当 ,故方案乙的用水量较少.
（II） 时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为 ,   最少总用水量是 .
当 ,故T( )是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.

(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有 =0.99,解得x=19.
由 得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程:
解得y=4 ,故z=4 +3.即两种方案的用水量分别为19与4 +3.
因为当 ,故方案乙的用水量较少.
（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为 与 ，类似（I）得
， （*）
于是 +
当 为定值时, ,
当且仅当 时等号成立.此时

将 代入（*）式得
故 时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为 ,   最少总用水量是 .
当 ,故T( )是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.