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如何证明都是整数的矩阵A,|A-1/2E|不为0?
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如何证明都是整数的矩阵A,|A-1/2E|不为0?
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答案和解析
矩阵A的元素均为整数,则A的特征多项式f(x)=det(xE-A)是首项系数为1,所有项系数均为整数的代数多项式,故它的实根均为整数,如果有复根的话,共轭复根成对出现,A-1/2E的所有特征值等于对应的A的特征值减1/2,于是A-1/2E的所有特征值或是不等于零的实数(整数减1/2),或是一对对共轭复数,即A-1/2E的所有特征值均不等于零,|A-1/2E|等于它的所有特征值之积,故|A-1/2E|不为0.
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