lim(xsin(1/x))=0(x趋近于0)lim((1/x)sinx)=1(x趋近于0)为什么后者可以用等价无穷小替换sinx,前者不可以?等价无穷小替换的条件是什么,怎么有时候x不趋近于0也可以替换?

Question

lim(xsin(1/x))=0 (x趋近于0) lim((1/x)sinx)=1 (x趋近于0) 为什么后者可以用等价无穷小替换sinx,前者不可以?等价无穷小替换的条件是什么,怎么有时候x不趋近于0也可以替换?

Answer 1

当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时,函数值f(x)与零无限接近,即f(x)=0(或f(1/x)=0),则称f(x)为当x→x0时的无穷小量.
根据上述定义,当limf(x)/g(x)=1时,则f(x)与g(x)是等价无穷小.
因此：
根据上述定义：
1）等价无穷小一定要首先趋近于0,这趋近的主体不一定是自变量,是因变量也是成立的；
2）等价无穷小替换必然是在整体极限存在的情况下,而不能是党极限不存在时,就不能用等价不穷小,例如：lim(x→0) [sin(1/x) / x],该极限中,sin(1/x)极限是不存在的,况且,1/x在自变量趋近于0时,它不趋近于0,更就不能等价无穷小替换了!