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如图14,已知点A(-1,0),B(4,0),点C在y轴的正半轴上,且∠ACB=900,抛物线经过A、B、C三点,其顶点为M.求抛物线的解析式;试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系,并加以
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如图14,已知点A(-1,0),B(4,0),点C在y轴的正半轴上,且∠ACB=90 0 ,抛物线 经过A、B、C三点,其顶点为M. 求抛物线 的解析式; 试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系,并加以证明; 在抛物线上是否存在点N,使得 ?如果存在,那么这样的点有几个?如果不存在,请说明理由。 |
▼优质解答
答案和解析
(1)Rt△ACB中,OC⊥AB,AO=1,BO=4, ∴△ACO∽△ABO 。∴ ,∴OC 2 =OA•OB=4。 ∴OC=2。∴点C(0,2)。 ∵抛物线 经过A、B两点, ∴设抛物线的解析式为: ,将C点代入上式,得: ,解得 。 ∴抛物线的解析式: ,即 。 (2)直线CM与以AB为直径的圆相切。理由如下: 如图,设抛物线的对称轴与x轴的交点为D,连接CD。 由于A、B关于抛物线的对称轴对称,则点D为Rt△ABC斜边AB的中点,CD= AB。 由(1)知: , 则点M( ),ME= 。 而CE=OD= ,OC=2,∴ME:CE=OD:OC。 又∵∠MEC=∠COD=90°,∴△COD∽△CEM。∴∠CME=∠CDO。 ∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°。∠DCM=90°。 ∵CD是⊙D的半径,∴直线CM与以AB为直径的圆相切。 (3)由B(4,0)、C(0,2)得:BC= , 则: 。 过点B作BF⊥BC,且使BF=h= ,过F作直线l∥BC交x轴于G。 Rt△BFG中,sin∠BGF=sin∠CBO= , BG=BF÷sin∠BGF= 。 ∴G(0,0)或(8,0)。 易知直线BC:y= x+2,则可设直线l:y= x+b, 将G点坐标代入,得:b=0或b=4,则: 直线l:y= x或y= x+4; 联立抛物线的解析式,得: ,或 。 解得 或 或 。 ∴抛物线上存在点N,使得 ,这样的点有3个: 。 |
二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,二次函数的性质,直线与的位置关系,平行线的性质。 【分析】(1)Rt△ACB中,OC⊥AB,利用相似三角形能求出OC的长,即可确定C点坐标,再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式。 (2)证明CM垂直于过点C的半径即可。 (3)先求出线段BC的长,根据△BCN的面积,可求出BC边上的高,那么做直线l,且直线l与直线BC的长度正好等于BC边上的高,那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的N点。 |
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