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(2011•安徽)如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0).(1)求证:h1=h3;(2)设正方形ABCD
题目详情
(2011•安徽)如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0).
(1)求证:h1=h3;
(2)设正方形ABCD的面积为S,求证:S=(h2+h1)2+h12;
(3)若
h1+h2=1,当h1变化时,说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况.
(1)求证:h1=h3;
(2)设正方形ABCD的面积为S,求证:S=(h2+h1)2+h12;
(3)若
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F,过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G,
∵四边形ABCD是正方形,l1∥l2∥l3∥l4,
∴AB=CD,∠ABE+∠HBC=90°,
∵CH⊥l2,
∴∠BCH+∠HBC=90°,
∴∠BCH=∠ABE,
∵∠BCH=∠CDG,
∴∠ABE=∠CDG,
∵∠AEB=∠CGD=90°,
在△ABE和△CDG中,
,
∴△ABE≌△CDG(AAS),
∴AE=CG,
即h1=h3,
(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,
∵∠AEB=∠DFA=∠BHC=∠CGD=90°,∠ABE=∠FAD=∠BCH=∠CDG,
∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD,且两直角边长分别为h1、h1+h2,
∴四边形EFGH是边长为h2的正方形,
∴S=4×
h1(h1+h2)+h22=2h12+2h1h2+h22=(h1+h 2)2+h12,
(3)由题意,得h2=1−
h1,
所以
,
又
∵四边形ABCD是正方形,l1∥l2∥l3∥l4,
∴AB=CD,∠ABE+∠HBC=90°,
∵CH⊥l2,
∴∠BCH+∠HBC=90°,
∴∠BCH=∠ABE,
∵∠BCH=∠CDG,
∴∠ABE=∠CDG,
∵∠AEB=∠CGD=90°,
在△ABE和△CDG中,
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∴△ABE≌△CDG(AAS),
∴AE=CG,
即h1=h3,
(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,
∵∠AEB=∠DFA=∠BHC=∠CGD=90°,∠ABE=∠FAD=∠BCH=∠CDG,
∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD,且两直角边长分别为h1、h1+h2,
∴四边形EFGH是边长为h2的正方形,
∴S=4×
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(3)由题意,得h2=1−
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所以
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又
作业帮用户
2017-10-16
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