偶函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，问它在（0，+∞）是增函数还是减函数？能否用函数单调性的定义证明你的结论？

Question

偶函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，问它在（0，+∞）是增函数还是减函数？能否用函数单调性的定义证明你的结论？

Answer 1

因为偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
且f（x）在（-∞，0）上是增函数，
故f（x）在（0，+∞）是减函数．
证明如下：若0＜x₁＜x₂＜+∞，那么-∞＜-x₂＜-x₁＜0．
由于偶函数在（-∞，0）上是增函数，故有：f（-x₂）＜f（-x₁）
又根据偶函数的性质可得：f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）
综上可得：f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（0，+∞）上是减函数