已知函数f(x)＝xx+1，（1）用函数单调性定义证明：f（x）在（-1，+∞）是增函数；（2）试求f(x)＝2x2x+1在区间[1，2]上的最大值与最小值．

Question

已知函数f(x)＝(x)/(x+1)，
（1）用函数单调性定义证明：f（x）在（-1，+∞）是增函数；
（2）试求f(x)＝(2x)/(2x+1)在区间[1，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

（1）任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)−f(x2)＝(1−(1)/(x1+1))−(1−(1)/(x2+1))＝(1)/(x2+1)−(1)/(x1+1)＝(x1−x2)/((x1+1)(x2+1))
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）为（-1，+∞）上的增函数．
（2）令t=2^x，则t∈[2，4]，
由（1）可知g(t)＝(t)/(t+1)在[2，4]上为增函数，
则fmin＝g(2)＝(2)/(3)，
fmax＝g(4)＝(4)/(5)．