设点P是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF2F1=3，则双曲线的离心率为．

Question

设点P是双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，其中F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF₂F₁=3，则双曲线的离心率为 ___ ．

Answer 1

∵圆x²+y²=a²+b²的半径r=√(a2+b2)=c，
∴F₁F₂是圆的直径，
∴∠F₁PF₂=90°
依据双曲线的定义：|PF₁|-|PF₂|=2a，
又∵在Rt△F₁PF₂中，tan∠PF₂F₁=3，
即|PF₁|=3|PF₂|，
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
在直角三角形F₁PF₂中
由（3a）²+a²=（2c）²，
得e=√((c2)/(a2))=(√(10))/(2)．
故答案为：(√(10))/(2)．