大学数学题:在倒沙子形成圆锥形沙堆时,圆锥高总是底圆半径的2倍,且沙堆体积以0.2m³/s的速度加.求沙堆高2m时,沙堆高度增加的速度.

Question

大学数学题:在倒沙子形成圆锥形沙堆时,圆锥高总是底圆半径的2倍,且沙堆体积以0.2m³/s的速度
加.求沙堆高2m时,沙堆高度增加的速度.

Answer 1

设高为h,则半径为h/2,圆锥体积V(1/3倍底面积乘高,pi为圆周率)为（pi*(h/2)^2*h）/3,
列微分方程dv/dt=0.2,(t表示时间,方程含义是体积改变量随时间的变化率为0.2)
带入V的表达式：d(（pi*(h/2)^2*h）/3)/dt=0.2
整理得：dh/dt=0.8/(pi*h*h).
dh/dt即为高度变化率,把h=2带入右边的式子即得到2米是高度的变化率,0.2/pi