初中数学二次函数复习题

Question

初中数学二次函数复习题

Answer 1

希望对你有帮助
希望采纳
（2012广西崇左10分）如图所示,抛物线 （a≠0）的顶点坐标为点A（－2,3）,
且抛物线 与y轴交于点B（0,2）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形,若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说
明理由；
（3）若点P是x轴上任意一点,则当PA－PB最大时,求点P的坐标.
【答案】（1）∵抛物线的顶点坐标为A(－2,3),∴可设抛物线的解析式为 .
由题意得 ,解得 .
∴物线的解析式为 ,即 .
（2）设存在符合条件的点P,其坐标为（p,0）,则
PA = ,PB= ,AB =
当PA=PB时, = ,解得 ；
当PA=PB时, =5,方程无实数解；
当PB=AB时, =5,解得 .
∴x轴上存在符合条件的点P,其坐标为（ ,0）或（-1,0）或（1,0）.
（3）∵PA－PB≤AB,∴当A、B、P三点共线时,可得PA－PB的最大值,这个最大值等于AB,
此时点P是直线AB与x轴的交点.
设直线AB的解析式为 ,则
,解得 .∴直线AB的解析式为 ,
当 =0时,解得 .
∴当PA－PB最大时,点P的坐标是（4,0）
（2012辽宁朝阳14分）已知,如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边BC在x轴上,直角顶点A在y轴的正半轴上,A（0,2）,B（－1,0）.
（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）设点P（m,n）是抛物线在第一象限部分上的点,△PAC的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求使S最大时点P的坐标；
（4）在抛物线对称轴上,是否存在这样的点M,使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由.
【答案】（1）∵A（0,2）,B（－1,0）,∴OA=2,OB=1.
由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO,∴ ,即 ,解得OC=4.
∴点C的坐标为（4,0）.
（2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为 ,
将A（0,2）代入,得 ,解得 .
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为 ,即 .
∵ ,∴抛物线的对称轴为 .
（3）过点P作x轴的垂线,垂足为点H.
∵点P（m,n）在 上,
∴P .
∴ ,
, .
∴ .
∵ ,∴当 时,S最大.
当 时, .∴点P的坐标为（2,3）.
（4）存在.点M的坐标为（ ）或（ ）或（ ）或（ ）或（ ）.
（2012山东临沂13分）如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标；若不存在,说明理由．
【答案】（1）如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°.
∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°.
又∵OA=OB=4,
∴OC= OB= ×4=2,BC=OB•sin60°= .
∴点B的坐标为（﹣2,﹣ ）.
（2）∵抛物线过原点O和点A．B,
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,将A（4,0）,B（﹣2,﹣ ）代入,得
,解得 .
∴此抛物线的解析式为 .
（3）存在.
如图,抛物线的对称轴是x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为（2,y）.
①若OB=OP,则22+|y|2=42,解得y=± ,
当y= 时,
在Rt△POD中,∠PDO=90°,sin∠POD= ,
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°,即P、O、B三点在同一直线上.
∴y= 不符合题意,舍去.
∴点P的坐标为（2,﹣ ）.
②若OB=PB,则42+|y+ |2=42,解得y=﹣ .
∴点P的坐标为（2,﹣ ）.
③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+ |2,解得y=﹣ .
∴点P的坐标为（2,﹣ ）.
综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为（2,﹣）.
（2012内蒙古包头12分）已知直线y = 2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于A , D 两点,抛物线 经过点A , D ,点B 是抛物线与x 轴的另一个交点.
（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；
（2）设点M 是直线AD 上一点,且 ,求点M 的坐标；
（3）如果点C（2,y）在这条抛物线上,在y 轴的正半轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.
【答案】（1）在y = 2x + 4中,令y =0,得x=－2；令x=0,得y =4.
∴A（－2,0）,D（0,4）.
将A（－2,0）,D（0,4）代入,得
,解得.
∴这条抛物线的解析式为.
令,解得.∴B（4,0）.
（2）设M（m,2 m + 4）,分两种情况：
①当M在线段AD上时,由得
,
解得,.∴M1（）.
②当M在线段DA延长线上时,
由得
,解得.∴M2（）.
综上所述,点M 的坐标为M1（）,M2（）.
（3）存在.
∵点C（2,y）在上,
∴.∴C（2,4）.
设P,根据勾股定理,得
,
,.
分三种情况：
①若PB=BC,则,解得,.
∵点P在y 轴的正半轴上,∴P1（0,2）.
②若PB=PC,则,解得,.∴P2（0,）.
③若BC=PC,则,解得,.
∵点P在y 轴的正半轴上,∴不符合要求.
当时,B、C、P在一直线上,不构成三角形,也不符合要求.
∴BC=PC时,在y 轴的正半轴上是不存在点P,使△BCP为等腰三角形.
综上所述,在y 轴的正半轴上是存在点P1（0,2）,P2（0,
（2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中, 一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边 AB
在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点A（－1,0）．
（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ , ）、C（ , ）；并求经过A、B、C三点的抛物
线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°,∠DEF=60°）,把顶点E放在线段
AB上（点E是不与A、B两点重合的动点）,并使ED所在直线经过点C． 此时,EF所在直线与（1）
中的抛物线交于第一象限的点M．
①设AE=x,当x为何值时,△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形,若存在,请求
点P的坐标；若不存在,请说明理由．
【答案】（1）B（3,0）,C（0,）.
∵A（—1,0）B（3,0）
∴可设过A、B、C三点的抛物线为 .
又∵C（0,）在抛物线上,∴,解得.
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 即.
（2）①当△OCE∽△OBC时,则.
∵OC=, OE=AE—AO=x－1, OB=3,∴.∴x=2.
∴当x=2时,△OCE∽△OBC.
②存在点P.
由①可知x=2,∴OE=1.∴E（1,0）. 此时,△CAE为等边三角形.
∴∠AEC=∠A=60°.
又∵∠CEM=60°, ∴∠MEB=60°.
∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称.
∵C（0,）,∴M（2,）.
过M作MN⊥x轴于点N（2,0）,
∴MN=. ∴ EN=1.
∴ .
若△PEM为等腰三角形,则：
ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2,且点P在直线x=1上,∴P(1,2)或P（1,－2）.
ⅱ）当EM=PM时,点M在EP的垂直平分线上,∴P(1,2) .
ⅲ）当PE=PM时,点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点,∴P(1,)
∴综上所述,存在P点坐标为（1,2）或（1,—2）或（1,2）或（1,）时,
△EPM为等腰三角形.）,使△BCP为等腰三角形.
（2012江西省10分）如图,已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边）,与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k,使△ABP为等边三角形?如果存在,请求出k的值；如不存在,请说明理由；
③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF的长度；如果会,请说明理由．
【答案】（1）∵抛物线 ,
∴二次函数L1的开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标（2,﹣1）.
（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：
对称轴为x=2；都经过A（1,0）,B（3,0）两点.
②存在实数k,使△ABP为等边三角形．
∵ ,∴顶点P（2,－k）．
∵A（1,0）,B（3,0）,∴AB=2
要使△ABP为等边三角形,必满足|－k|= ,
∴k=± .
③线段EF的长度不会发生变化.
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,
∴kx2﹣4kx+3k=8k,∵k≠0,∴x2﹣4x+3=8.解得：x1=﹣1,x2=5.
∴EF=x2﹣x1=6.∴线段EF的长度不会发生变化.
（2012山东潍坊11分）如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2,O)、B(2,0)、C(0,－l)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交 于M、N两点．分别过点C、D(0,－2)作平行于x轴的直线 、 ．
(1)求抛物线对应二次函数的解析式；
(2)求证以ON为直径的圆与直线 相切；
(3)求线段MN的长(用k表示),并证明M、N两点到直线 的距离之和等于线段MN的长．
【答案】（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2＋bx＋c,
则 解得 .
∴抛物线对应二次函数的解析式 所以 .
（2）设M(x1,y1),N(x2,y2),因为点M、N在抛物线上,
∴ ,∴x22=4(y2+1).
又∵ ,∴ .
又∵y2≥－l,∴ON=2＋y2.
设ON的中点E,分别过点N、E向直线 作垂线,垂足为P、F, 则 ,
∴ON=2EF,
即ON的中点到直线 的距离等于ON长度的一半,
∴以ON为直径的圆与 相切.
（3）过点M作MH⊥NP交NP于点H,则 ,
又∵y1=kx1,y2=kx2,∴（y2－y1)2=k2(x2－x1)2.∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2.
又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上,
∴ ,即x2－4kx－4=0,∴x2＋x1=4k,x2·x1=－4.
∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)[ (x2＋xl)2－4x2·xl] =16(1+k2)2.∴MN=4(1+k2).
延长NP交 于点Q,过点M作MS⊥ 交 于点S,
则MS＋NQ=y1＋2＋y2＋2=
∴MS+NQ=MN,即M、N两点到 距离之和等于线段MN的长.
（2011四川眉山11分）如图,在直角坐标系中,已知点A（0,1）,B（－4,4）,将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C；顶点在坐标原点的抛物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P,设点P到x轴的距离为d1,点P到点A的距离为d2,试说明d2=d1＋1；
（3）在（2）的条件下,请探究当点P位于何处时,△PAC的周长有最小值,并求出△PAC的周长的最小值．
（2012浙江义乌12分）如图1,已知直线y=kx与抛物线 交于点A（3,6）．
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M（点M、O不重合）,交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值；如果不是,说明理由；
（3）如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上（与点O、A不重合）,点D（m,0）是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
【答案】（1）把点A（3,6）代入y=kx 得；6=3k,即k=2.
∴y=2x.
∴ .
（2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值,理由如下：
如图1,过点Q作QG⊥y轴于点G,QH⊥x轴于点H．
①当QH与QM重合时,显然QG与QN重合,
此时 .
②当QH与QM不重合时,
∵QN⊥QM,QG⊥QH不妨设点H,G分别在x、y轴的正半轴上,
∴∠MQH=∠GQN.
又∵∠QHM=∠QGN=90°,∴△QHM∽△QGN.
∴ .
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时,同理可得 .
∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值.
（3）如图2,延长AB交x轴于点F,过点F作FC⊥OA于点C,过点A作AR⊥x轴于点R.【版权归锦元数学工作室,不得转载】
∵∠AOD=∠BAE,∴AF=OF.
∴OC=AC= .
∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC,
∴△AOR∽△FOC.∴ .
∴OF= .
∴点F（ ,0）.
设点B（x, ）,过点B作BK⊥AR于点K,则△AKB∽△ARF.
∴ ,即 .
解得x1=6,x2=3（舍去）.∴点B（6,2）.
∴BK=6﹣3=3,AK=6﹣2=4.∴AB=5.
在△ABE与△OED中,∵∠BAE=∠BED,∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB.
∴∠ABE=∠DEO.
∵∠BAE=∠EOD,∴△ABE∽△OED.
设OE=x,则AE= ﹣x （ ）,
由△ABE∽△OED得 ,即 .
∴ .
∴顶点为 .
如图3,当 时,OE=x= ,此时E点有1个；
当 时,任取一个m的值都对应着两个x值,此时E点有2个．
∴当 时,E点只有1个,当 时,E点有2个.
（2012四川绵阳14分）如图1,在直角坐标系中,O是坐标原点,点A在y轴正半轴上,二次函数y=ax2+ x +c的图象F交x轴于B、C两点,交y轴于M点,其中B（-3,0）,M（0,-1）.已知AM=BC.
（1）求二次函数的解析式；【版权归锦元数学工作室,不得转载】
（2）证明：在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形,并请求出直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下,设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点,AC、BD相交于N.
①若直线l⊥BD,如图1所示,试求 的值；
②若l为满足条件的任意直线.如图2所示,①中的结论还成立吗?若成立,证明你的猜想；若不成立,请举出反例.
【答案】（1）∵二次函数y=ax2+x +c的图象经过点B（-3,0）,M（0,-1）,
∴ ,解得.
∴二次函数的解析式为：.
（2）证明：在中,令y=0,得,解得x1=－3,x2=2.
∴C（2,0）,∴BC=5.
令x=0,得y=-1,∴M（0,－1）,OM=1.
又AM=BC,∴OA=AM－OM=4.∴A（0,4）.
设AD∥x轴,交抛物线于点D,如图1所示,
则,解得x1=5,x2=－6（位于第二象限,舍去）.
∴D点坐标为（5,4）.∴AD=BC=5.
又∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形,即在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形.【版权归锦元数学工作室,不得转载】
设直线BD解析式为：y=kx+b,∵B（－3,0）,D（5,4）,
∴ ,解得：.
∴直线BD解析式为：.
（3）在Rt△AOB中,
又AD=BC=5,∴▱ABCD是菱形.
①若直线l⊥BD,如图1所示,
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.∴AC∥直线l.∴.
∵BA=BC=5,∴BP=BQ=10.
∴.
②若l为满足条件的任意直线,如图2所示,此时①中的结论依然成立,理由如下：
∵AD∥BC,CD∥AB,∴△PAD∽△DCQ.∴.
∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25.
∴
.
（2012江苏连云港12分）如图,抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF＝2,EF＝3,
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)求△ABD的面积；
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由．
【答案】(1)∵四边形OCEF为矩形,OF＝2,EF＝3,
∴点C的坐标为(0,3),点E的坐标为(2,3)．
把x＝0,y＝3；x＝2,y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c,得
,解得.
∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4,
∴抛物线的顶点坐标为D(1,4).∴△ABD中AB边的高为4.
令y＝0,得－x2＋2x＋3＝0,解得x1＝－1,x2＝3.
∴AB＝3－(－1)＝4.
∴△ABD的面积＝×4×4＝8.
(3)如图,△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直线上,由（1）(2)可知OA＝1,OC=3,
∵点A对应点G的坐标为(3,2).
∵当x＝3时,y＝－32＋2×3＋3＝0≠2,
∴点G不在该抛物线上.
（2012浙江宁波12分）如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1,0）,B（2,0）,交y轴于C（0,﹣2）,过A,C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H．
①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC（点C与点A对应）,求点M的坐标；
②若⊙M的半径为,求点M的坐标．
【答案】（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1,0）,B（2,0）
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）,
将x=0,y=﹣2代入,得﹣2=a（0+1）（0﹣2）,解得a=1.
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2）,即y=x2﹣x﹣2.
（2）设OP=x,则PC=PA=x+1,
在Rt△POC中,由勾股定理,得x2+22=（x+1）2,
解得,x=,即OP=.
（3）①∵△CHM∽△AOC,∴∠MCH=∠CAO.
（i）如图1,当H在点C下方时,
∵∠MCH=∠CAO,∴CM∥x轴,∴yM=﹣2.
∴x2﹣x﹣2=﹣2,解得x1=0（舍去）,x2=1.
∴M（1,﹣2）.
（ii）如图2,当H在点C上方时,
∵∠M′CH=∠CAO,∴PA=PC.
由（2）得,M′为直线CP与抛物线的另一交点,
设直线CM′的解析式为y=kx﹣2,
把P（,0）的坐标代入,得k﹣2=0,解得k=.
∴y=x﹣2.
由x﹣2=x2﹣x﹣2,解得x1=0（舍去）,x2=.
此时y=.
∴M′（）.
②在x轴上取一点D,如图3,过点D作DE⊥AC于点E,使DE=,
在Rt△AOC中,AC=.
∵∠COA=∠DEA=90°,∠OAC=∠EAD,
∴△AED∽△AOC,
∴,即,解得AD=2.
∴D（1,0）或D（﹣3,0）.
过点D作DM∥AC,交抛物线于M,如图
则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6.
当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时,即x2+x+4=0,方程无实数根,
当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时,即x2+x﹣4=0,解得.
∴点M的坐标为（）或（）.