在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P，点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直

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在平面直角坐标系XOY中，直线l₁ 过点A（1，0）且与y轴平行，直线l₂ 过点B（0，2）且与x轴平行，直线l₁ 与直线l₂ 相交于点P，点E为直线l₂ 上一点，反比例函数

（k＞0）的图象过点E与直线l₁ 相交于点F。
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF，若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由。

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答案和解析

（1）∵直线l₁ 过点A（1，0）且与y轴平行，直线l₂ 过点B（0，2）且与x轴平行，直线l₁ 与直线l₂ 相交于点P， ∴点P（1，2），若点E与点P重合，则k=1×2=2；
（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形， ∵PE⊥PF， ∴ ， ∴S_△PEF = ， ∴四边形PFGE是矩形， ∴S_△PEF =S_△GFE ， ∴S_△OEF =S_矩形OCGD -S_△DOF -S_△GFE -S_△OCE = ， ∵S_△OEF =2S_△PEF ， ∴ ，解得k=6或k=2， ∵k=2时，E、F重合，舍去， ∴k=6， ∴E点坐标为：（3，2）。
（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF ①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H， ∵△FHM∽△MBE， ∴ ， ∵FH=1，EM=PE=1- ，FM=PF=2-k， ∴ ， ∴ ，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM² =EB² +MB² ， ∴ 解得k= ，此时E点坐标为（，2）。 ②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，， ∵FQ=1，EM=PF=k-2， FM=PE= -1， ∴ ，BM=2，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM² =EB² +MB² ， ∴ ，解得k= 或0，但k=0不符合题意， ∴k= ，此时E点坐标为（，2）， ∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）。