根据程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x2013；y1，y2，…，y2013（Ⅰ）写出数列{xn}的递推公式，求{xn}的通项公式；（Ⅱ）写出数列{yn}的递推公式，求{yn}的通项公式；（Ⅲ）

Question

根据程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x₁，x₂，…，x₂₀₁₃；y₁，y₂，…，y₂₀₁₃
（Ⅰ）写出数列{x_n}的递推公式，求{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）写出数列{y_n}的递推公式，求{y_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{x_n+y_n}的前n项和S_n（n≤2013）．

Answer 1

（Ⅰ）数列{x_n}的递推公式为x_n+1=2x_n，
∵(xn+1)/(xn)＝2，
∴数列{x_n}构成一个首项为1公比为2的等比数列，
∴数列{x_n}的通项公式为xn＝2n−1（n≤2013）；
（Ⅱ）数列{y_n}的递推公式为y_n+1=y_n+1，
证明：∵y_n+1-y_n=1，
∴{y_n}是首项为2公差为1的等差数列，
∴y_n=y₁+（n-1）×1=n+1，
即数列{y_n}的通项公式为y_n=n+1（n≤2013）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知xn+yn＝2n−1+(n+1)，
∴Sn＝(20+21+22+…+2n−1)+[2+3+4+…+(n+1)]
=(1×(1−2n))/(1−2)+(n(n+3))/(2)
=2n−1+(n2+3n)/(2)（n≤2013）．