如图1所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板上，下端挂一小球（可视为质点），弹簧处于原长时小球位于O点．将小球从O点由静止释放，小球沿竖直方向在OP之间做往复运动，如图2所示．小

Question

如图1所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板上，下端挂一小球（可视为质点），弹簧处于原长时小球位于O点．将小球从O点由静止释放，小球沿竖直方向在OP之间做往复运动，如图2所示．小球运动过程中弹簧始终处于弹性限度内．不计空气阻力，重力加速度为g．

（1）在小球运动的过程中，经过某一位置A时动能为E_k1，重力势能为E_P1，弹簧弹性势能为E_弹1，经过另一位置B时动能为E_k2，重力势能为E_P2，弹簧弹性势能为E_弹2．请根据功是能量转化的量度，证明：小球由A运动到B 的过程中，小球、弹簧和地球组成的物体系统机械能守恒；
（2）已知弹簧劲度系数为k．以O点为坐标原点，竖直向下为x轴正方向，建立一维坐标系O-x，如图2所示．
a．请在图3中画出小球从O运动到P的过程中，弹簧弹力的大小F随相对于O点的位移x变化的图象．根据F-x图象求：小球从O运动到任意位置x的过程中弹力所做的功W，以及小球在此位置时弹簧的弹性势能E_弹；
b．已知小球质量为m．求小球经过OP中点时瞬时速度的大小v．

Answer 1

（1）设重力做的功为W_G，弹力做的功为W_弹
根据动能定理得     W_G+W_弹=E_k2-E_k1          
由重力做功与重力势能的关系  W_G=E_p1-E_p2     
由弹力做功与弹性势能的关系 W_弹=E_弹1-E_弹2     
联立以上三式可得   E_k1+E_p1+E_弹1=E_k2+E_p2+E_弹2；
（2）a．F-x图象如右图所示                          
图中的图线和x轴围成的面积表示功的大小
所以弹力做功为 W=-(1)/(2)kx2
由弹力做功与弹性势能的关系 W_弹=0-E_弹
解得  E_弹=(1)/(2)kx2
b．小球由O点到OP中点，根据动能定理得：
  mgx-(1)/(2)kx2=(1)/(2)mv2-0
小球由O点到P点，根据机械能守恒定律得：
 mg•2x=(1)/(2)k(2x)2
解得  v=g√((m)/(k))
答：
（1）证明见上．
（2）a、小球从O运动到任意位置x的过程中弹力所做的功W是-(1)/(2)kx2，以及小球在此位置时弹簧的弹性势能E_弹是(1)/(2)kx2．
b．已知小球质量为m．小球经过OP中点时瞬时速度的大小v是g√((m)/(k))．