已知抛物线y2=2px（p>0）与椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）有相同的焦点，点A是两曲线的一个公共点，若|AF|=5p6，则椭圆的离心率为（）A.-5+512B.-5+616C.12D.22-12

Question

已知抛物线y²=2px（p>0）与椭圆

(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）有相同的焦点，点A是两曲线的一个公共点，若|AF|=(5p)/(6)，则椭圆的离心率为（　　）

A.

(-5+√(51))/(2)

B.

(-5+√(61))/(6)

C.

(1)/(2)

D.

(2√(2)-1)/(2)

Answer 1

∵抛物线y²=2px与椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）有相同的焦点F，
∴椭圆的c=(p)/(2)，即p=2c．
设A的坐标为（m，n），则由抛物线的定义可得m+(p)/(2)=(5)/(6)p，
解得m=(p)/(3)，n=±(√(6))/(3)p，即有A（(2c)/(3)，±(2√(6))/(3)c）．
代入椭圆方程可得(4c2)/(9a2)+(8c2)/(3b2)=1，
由离心率e=(c)/(a)，b²=c²-a²，
可得(4)/(9)e2+(8e2)/(3(1-e2))=1，
即为4e⁴-37e²+9=0，
即有e²=9（舍去）或(1)/(4)，
解得e=(1)/(2)．
故选：C．