已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得PF1PF2=e，则该离心率e的取值范围是[2-1，1）[2-1，1）．

Question

已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得(PF1)/(PF2)=e，则该离心率e的取值范围是

[√(2)-1，1）

[√(2)-1，1）

．

Answer 1

依题意，得(PF1)/(PF2)+1=(PF2+PF1)/(PF2)=(2a)/(PF2)=e+1，
∴PF₂=(2a)/(e+1)，又a-c≤PF₂≤a+c，
∴a-c≤(2a)/(e+1)≤a+c，不等号两端同除以a得，
1-e≤(2)/(e+1)≤1+e，
∴

1-e2≤2

1+e≥√(2)

，解得e≥√(2)-1，
又0＜e＜1，
∴√(2)-1≤e＜1．
故答案为：[√(2)-1，1）