如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的右边界ad长为2L，现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v0的带

Question

如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的右边界ad长为2L，现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v₀的带正电粒子，已知粒子电荷量为q，质量为m（重力不计）．
（1）若要求粒子能从ab边射出磁场，v₀应满足什么条件？
（2）粒子从磁场边界ab射出来的范围是多少？

Answer 1

（1）粒子带正电，粒子运动的轨迹如图所示，当粒子的速度大于与R₁相对应的速度v₁时，粒子将恰好不从dc边射出．
由几何关系可得：
R₁=2L   …①
由洛仑兹力和向心力公式可得：
qv₁B=m(v21)/(R1)…②
当粒子的速度小于与R₂相对应的速度v₂时，粒子将从ad边射出．
由几何关系可得：
R₂+R₂sin30°=L…③
由③式解得：
R₂=(2)/(3)L…④
由洛仑兹力和向心力公式可得：
qv₂B=m(v22)/(R2)…⑤
将①④式分别代入②⑤式可解得：
v₁=(2qBL)/(m)，v₂=(2qBL)/(3m)
所以v₀的取值范围是：(2qBL)/(3m)＜v₀＜(2qBL)/(m)．
（2）沿着半径为R₁=2L的轨迹圆离开磁场位置与a点的距离为：
x₁=R₁+R₁sin60°=2L+2L×(√(3))/(2)=2L+√(3)L≈3.73L
沿着半径为R₂=(2)/(3)L的轨迹圆离开磁场位置与a点的距离为：
x₂=R₂sin60°=(2)/(3)L×(√(3))/(2)=(√(3))/(3)L≈0.58L
即粒子从距离a点0.58L至3.73L的范围射出；
答：（1）若要求粒子能从ab边射出磁场，v₀应满足条件为(2qBL)/(3m)＜v₀＜(2qBL)/(m)．；
（2）粒子从磁场边界ab射出来的范围为：距离a点0.58L至3.73L的范围．