已知集合Rn={X|X=（x1，x2，…，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1，a2，…，an）∈Rn，B=（b1，b2，…，bn）∈Rn，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a1-b1|+|a2-b2|+…|an-bn|=ni=1|ai-bi|

Question

已知集合R_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a₁，a₂，…，a_n）∈R_n，B=（b₁，b₂，…，b_n）∈R_n，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+…|a_n-b_n|=

n

i=1

|ai-bi|．
（Ⅰ）写出R₂中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；
（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R₃，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；
（Ⅲ）设集合P⊆R_n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为

.

d

(P)，证明

.

d

(P)≤(mn)/(2(m-1))．

Answer 1

（Ⅰ）R₂={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B∈R₂，d（A，B）_max=2．
（Ⅱ）R₃中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}
或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，
集合M中元素个数最大值为4．
（Ⅲ）

.

d

(P)=(1)/(C2m)

A，B∈P

d(A，B)，其中

A，B∈P

d(A，B)表示P中所有两个元素间距离的总和．
设P中所有元素的第i个位置的数字中共有t_i个1，m-t_i个0，则

A，B∈P

d(A，B)=

n

i=1

ti(m-ti)
由于ti(m-ti)≤(m2)/(4)（i=1，2，…，n）
所以

A，B∈P

d(A，B)=

n

i=1

ti(m-ti)≤(nm2)/(4)
从而

.

d

(P)=(1)/(C2m)

A，B∈P

d(A，B)≤(nm2)/(4C2m)=(nm)/(2(m-1))