问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图a，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；②如图b，在正方形ABCD中，M

Question

问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图a，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；
②如图b，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN；
然后运用类比的思想提出了如下命题：
③如图c，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN；
任务要求：
（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；（说明选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）
（2）请你继续完成下面的探索：
ⅰ、如图d，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明）
ⅱ、如图e，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108° 时，试问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立．请说明理由．

Answer 1

（1）选命题①
在图a中，∵△ABC是正三角形，
∴BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°．
∵∠BON=60°，
∴∠CBM+∠BCN=60°．
∵∠BCN+∠ACN=60°，
∴∠CBM=∠ACN．
∴△BCM≌△CAN（ASA）．
∴BM=CN．

选命题②
在图b中∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°．
∵∠BON=90°，
∴∠CBM+∠BCN=90°．
∵∠BCN+∠DCN=90°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

选命题③
在图c中，∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°．
∵∠BON=108°，
∴∠CBM+∠BCN=108°．
∵∠BCN+∠DCN=108°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

（2）①当∠BON=((n-2)×180°)/(n)时，结论BM=CN成立．
∵在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，
∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=((n-2)×180°)/(n)，
∵∠BON=((n-2)×180°)/(n)，
∴∠CBM+∠BCN=((n-2)×180°)/(n)，
∵∠BCN+∠DCN=((n-2)×180°)/(n)，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

②BM=CN成立．
在图⑤中，连接BD、CE，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE，∠CDE=∠DEA=108°．
∴∠BCD=∠DEA，
∴△BCD≌△CDE（SAS）．
∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD．
∵∠BON=108°，
∴∠OBC+∠OCB=108°．
∵∠OCB+∠OCD=108°，
∴∠OBC=∠OCD（即∠MBC=∠NCD）．
∴∠MBC-∠DBC=∠NCD-∠ECD，即∠DBM=∠ECN．
∴∠CDE-∠BDC=∠DEA-∠CED，即∠BDM=∠CEN．
∴△BDM≌△CEN（ASA）．
∴BM=CN．