已知函数f(x)＝x+ax+2，x∈[1，+∞)．（1）当a＝12时，①用定义探讨函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性；②解不等式：f(2x−12)＜f(x+1006)；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求

Question

已知函数f(x)＝x+(a)/(x)+2，x∈[1，+∞)．
（1）当a＝(1)/(2)时，①用定义探讨函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性；
②解不等式：f(2x−(1)/(2))＜f(x+1006)；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a＝(1)/(2)时，f(x)＝x+(1)/(2x)+2，
①设x₁＞x₂≥1，
f(x1)−f(x2)＝x1+(1)/(2x1)−x2−(1)/(2x2)
=(x1−x2)+(x2−x1)/(2x1x2)
=(x1−x2)(1−(1)/(2x1x2))
=(x1−x2)•(2x1x2−1)/(2x1x2)．
∵x₁＞x₂≥1，则x₁-x₂＞0，x₁x₂＞1，2x₁x₂-1＞0，
∴(x1−x2)•(2x1x2−1)/(2x1x2)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；
②∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f(2x−(1)/(2))＜f(x+1006)⇔

2x−(1)/(2)≥1

2x−(1)/(2)＜x+1006

，
解得：(3)/(4)≤x＜(2013)/(2)，故原不等式解集为{x|

作业帮用户 2017-11-07 举报

问题解析

（1）①把a＝

(1)/(2)代入函数解析式，直接由函数单调性的定义证明；
②利用函数的单调性把要求接的不等式转化为一次不等式组，求解不等式组得答案；
（2）把不等式左边的f（x）通分，由分母恒大于0，转化为分子恒大于0，然后分离变量，利用配方法求最值，则实数a的取值范围可求．

名师点评

本题考点：

函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．

考点点评：

本题考查恒成立问题，训练了利用定义法证明函数的单调性，考查了数学转化思想方法，训练了分离变量法和利用配方法求函数最值，是中档题．

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