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命题已知-1≤x≤1,求证:arcsinx+arccosx=π/2.
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命题已知-1≤x≤1,求证:arcsinx+arccosx=π/2.
▼优质解答
答案和解析
设 arcsinx = u, arccosx = v ,(-1≤x≤1),
则 sinu=x, cosu=√[1-(sin²u)]=√[1-x²]
cosv=x,sinv=√[1-(cos²v)]=√[1-x²],
因为,sin[arcsinx+arccosx]
=sin(u+v)
=sinuconv+conusinv
=x²+√[1-x²]√[1-x²]
=x²+1-x²
=1,
sin(π/2)=1,
sin[arcsinx+arccosx]=sin(π/2)
所以,arcsinx+arccosx=π/2 (-1≤x≤1)
则 sinu=x, cosu=√[1-(sin²u)]=√[1-x²]
cosv=x,sinv=√[1-(cos²v)]=√[1-x²],
因为,sin[arcsinx+arccosx]
=sin(u+v)
=sinuconv+conusinv
=x²+√[1-x²]√[1-x²]
=x²+1-x²
=1,
sin(π/2)=1,
sin[arcsinx+arccosx]=sin(π/2)
所以,arcsinx+arccosx=π/2 (-1≤x≤1)
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