已知直线l经过正方形ABCD的顶点A，过点B和点D分别作直线l的垂线BM和DN，垂足分别为点M、点N，如果BM=5，DN=3，那么MN=．

Question

已知直线l经过正方形ABCD的顶点A，过点B和点D分别作直线l的垂线BM和DN，垂足分别为点M、点N，如果BM=5，DN=3，那么MN=______．

Answer 1

如图1，在正方形ABCD中，
∵∠NAD+∠BAM=90°，∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠NAD=∠MBA，
在△ABM和△ADN中，
∵

∠AND＝∠AMB

∠NAD＝∠MBA

AD＝AB

，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM=DN=3，AN=BM=5，
∴MN=AM+AN=8，
如图2，在正方形ABCD中，
∵∠DAN+∠BAM=90°，∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠NAD=∠MBA，
在△ABM和△ADN中，
∵

∠AND＝∠AMB

∠NAD＝∠MBA

AD＝AB

，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM=DN=3，AN=BM=5，
∴MN=AN-AM=2，
综上所述：MN的值为2或8，
故答案为：2或8．