平面直角坐标系中，以点P（2，a）为圆心的⊙P与y轴相切，直线y=x与⊙P相交于点A、B，且AB的长为23，则a的值为2+2或2-22+2或2-2．

Question

平面直角坐标系中，以点P（2，a）为圆心的⊙P与y轴相切，直线y=x与⊙P相交于点A、B，且AB的长为2√(3)，则a的值为

2+√(2)或2-√(2)

2+√(2)或2-√(2)

．

Answer 1

设⊙P与y轴相切于点C，连接PC，则有PC⊥OC．
∵点P的坐标为（2，a），∴PC=2．
①若点P在直线y=x上方，如图1，
连接CP并延长交直线y=x于点E，则有CE=OC．
∵CE⊥OC，CE=OC，
∴∠COE=∠CEO=45°．
过点P作PD⊥AB于D，
由垂径定理可得：AD=BD=(1)/(2)AB=(1)/(2)×2√(3)=√(3)．
在Rt△ADP中，
PD=√(PA2−AD2)=√(22−(√(3))2)=1．
在Rt△PDE中，
sin∠PED=(PD)/(PE)=(1)/(PE)=(√(2))/(2)，
解得：PE=√(2)．
∴OC=CE=CP+PE=2+√(2)．
∴a=2+√(2)．
②若点P在直线y=x下方，如图2，
连接PC，过点P作PD⊥AB于D，
过点P作x轴的垂线交x轴与点M，交AB于点N，
同理可得：OM=MN，PD=1，PN=√(2)．
∵∠PCO=∠COM=∠PMO=90°，
∴四边形PCOM是矩形．
∴OM=PC=2，OC=PM．
∴OC=PM=MN-PN=OM-PN=2-√(2)．
∴a=2-√(2)．
故答案为：2+√(2)或2-√(2)．