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如图,直线y=kx+b与y轴的交点坐标为A(0,1),与x轴的交点坐标为B(-3,0);P、Q分别是x轴和直线AB上的一动点,在运动过程中,始终保持QA=QP;△APQ沿直线PQ翻折得到△CPQ,A点的对称点是点
题目详情
如图,直线y=kx+b与y轴的交点坐标为A(0,1),与x轴的交点坐标为B(-3,0);P、Q分别是x轴和直线AB上的一动点,在运动过程中,始终保持QA=QP;△APQ沿直线PQ翻折得到△CPQ,A点的对称点是点C.
(1)求直线AB的解析式.
(2)是否存在点P,使得点C恰好落在直线AB上?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求直线AB的解析式.
(2)是否存在点P,使得点C恰好落在直线AB上?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,则
解得
,
即y=
x+1;
(2)分三种情况考虑下
第一种情况(如图甲):设P的坐标为(t,0)
∵△APQ与△CPQ关于直线PQ对称,并且点A,Q,C共线,
∴∠AQP=∠CQP=90°,
∵QA=QP,∴QA=QP=QC
即△AQP,△CQP都是等腰直角三角形,
∴△APC是以P为顶角的等腰直角三角形.
根据AAS可以得到△AOP≌△PHC,
∴CH=OP=t,PH=OA=1,
∴点C的坐标为(t+1,t).
∵点C落在直线AB上,
∴
(t+1)+1=t,解得t=2.即P的坐标为(2,0).
第二种情况(如图乙):设P的坐标为(t,0)
∵△APQ与△CPQ关于直线PQ对称,并且点A,Q,C共线,
∴∠AQP=∠CQP=90°,
∵QA=QP,∴QA=QP=QC,
即△AQP,△CQP都是等腰直角三角形,
∴△APC是以P为顶角的等腰直角三角形.
根据AAS可以得到△AOP≌△PHC,
∴CH=OP=-t,PH=OA=1,
∴点C的坐标为(t-1,-t).
∵点C落在直线AB上,∴
(t−1)+1=−t,解得t=−
.
即P的坐标为(−
,0).
第三种情况(如图丙):
当点P与点B重合时,Q恰好是线段AB的中
点,此时点A关于直线PQ的对称点C与点A重
合,但A,P,Q三点共线,不能构成三角形,
故不符合题意.
|
解得
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即y=
1 |
3 |
(2)分三种情况考虑下
第一种情况(如图甲):设P的坐标为(t,0)
∵△APQ与△CPQ关于直线PQ对称,并且点A,Q,C共线,
∴∠AQP=∠CQP=90°,
∵QA=QP,∴QA=QP=QC
即△AQP,△CQP都是等腰直角三角形,
∴△APC是以P为顶角的等腰直角三角形.
根据AAS可以得到△AOP≌△PHC,
∴CH=OP=t,PH=OA=1,
∴点C的坐标为(t+1,t).
∵点C落在直线AB上,
∴
1 |
3 |
第二种情况(如图乙):设P的坐标为(t,0)
∵△APQ与△CPQ关于直线PQ对称,并且点A,Q,C共线,
∴∠AQP=∠CQP=90°,
∵QA=QP,∴QA=QP=QC,
即△AQP,△CQP都是等腰直角三角形,
∴△APC是以P为顶角的等腰直角三角形.
根据AAS可以得到△AOP≌△PHC,
∴CH=OP=-t,PH=OA=1,
∴点C的坐标为(t-1,-t).
∵点C落在直线AB上,∴
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即P的坐标为(−
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第三种情况(如图丙):
当点P与点B重合时,Q恰好是线段AB的中
点,此时点A关于直线PQ的对称点C与点A重
合,但A,P,Q三点共线,不能构成三角形,
故不符合题意.
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