已知圆C：（x-3）2+（y-3）2=9，直线l1：y=kx与圆C交于P、Q两个不同的点，M为P、Q的中点．（Ⅰ）已知A（3，0），若AP•AQ＝0，求实数k的值；（Ⅱ）求点M的轨迹方程；（Ⅲ）若直线l1与l2：x+y+1=0

Question

已知圆C：（x-3）²+（y-3）²=9，直线l₁：y=kx与圆C交于P、Q两个不同的点，M为P、Q的中点．
（Ⅰ）已知A（3，0），若

AP

•

AQ

＝0，求实数k的值；
（Ⅱ）求点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若直线l₁与l₂：x+y+1=0的交点为N，求证：|OM|•|ON|为定值．

Answer 1

（Ⅰ）

AP

•

AQ

＝0  即

AP

⊥

AQ

，
因为点A在圆C上
故直线l₁过圆心C（3，3），
解得：k=1；
（Ⅱ）设M（x，y），则OM⊥CM，即

OM

•

CM

＝0①
所以：

OM

＝(x，y)，

CM

＝(x−3，y−3)，
坐标代入①解得：
（x，y）•（x-3，y-3）=0，
化简得：x²-3x+y²-3y=0（x＞0，y＞0）．
（Ⅲ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀）将y=kx代入（x-3）²+（y-3）²=9并整理得：（k²+1）x²-6（k+1）x+9=0 则x₁，x₂为方程的两根，利用根和系数的关系：
∴x1+x2＝(6(k+1))/(k2+1)
所以：|OM|＝√(x20+y20)＝√(x02+(kx0)2)＝√(1+k2)•x0
=√(1+k2)•(3(k+1))/(k2+1)
直线l₁与l₂：x+y+1=0的交点为N，解得：N(−(1)/(k+1)，−(k)/(k+1))
所以：|ON|=√((−(1)/(k+1))2+(−(k)/(k+1))2)=(√(1+k2))/(1+k)
所以：|ON|•|OM|=√(1+k2)•(3(k+1))/(k2+1)•(√(1+k2))/(1+k)=3（定值）