如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N

Question

如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．

（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使S_△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（4）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q使得|BQ-CQ|的值最大，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（-1，0），B（0，3）；
∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，
∴C（1，0）．
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，
∴

b=3

3k+b=0

，
解得k=-1，b=3，
∴直线BD的解析式为：y=-x+3．
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
∵点B（0，3）在抛物线上，
∴3=a×（-1）×（-3），
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．

（2）抛物线的解析式为：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1）．
直线BD：y=-x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，
∴M（2，1）．
设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MF=1，
∴△MCD为等腰直角三角形．
∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，
∴△BND为等腰直角三角形．
如答图1所示：
（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，
∴N₁（0，0）；
（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，
∵OB=OD=ON₂=3，
∴N₂（-3，0）；
（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，
∵OB=OD=ON₃=3，
∴N₃（0，-3）．
∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（-3，0）或（0，-3）．

（3）假设存在点P，使S_△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．
（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m-3．
S_△PBD=S_梯形PEOB-S_△BOD-S_△PDE=(1)/(2)（3+n）•m-(1)/(2)×3×3-(1)/(2)（m-3）•n=6，
化简得：m+n=7 ①，
∵P（m，n）在抛物线上，
∴n=m²-4m+3，
代入①式整理得：m²-3m-4=0，
解得：m₁=4，m₂=-1，
∴n₁=3，n₂=8，
∴P₁（4，3），P₂（-1，8）；
（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：
过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=-n，BE=3-n．
S_△PBD=S_梯形PEOD+S_△BOD-S_△PBE=(1)/(2)（3+m）•（-n）+(1)/(2)×3×3-(1)/(2)（3-n）•m=6，
化简得：m+n=-1 ②，
∵P（m，n）在抛物线上，
∴n=m²-4m+3，
代入②式整理得：m²-3m+4=0，△=-7<0，此方程无解．
故此时点P不存在．
综上所述，在抛物线上存在点P，使S_△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（-1，8）．

（4）∵B（0，3），C（1，0），
∴直线BC的解析式为：y=-3x+3，
∴当x=2时，y=-3×2+3=-3．
∴点Q（2，-3）．