如图,△ABC,为等边三角形,BD=CEBD=CE,AD与BE相交于点P,AH⊥BE,垂足为H,求证,PH=1/2AP,

Question

如图,△ABC,为等边三角形,BD=CEBD=CE,AD与BE相交于点P,AH⊥BE,垂足为H,求证,PH=1/2AP,

Answer 1

由题意可知△BCE≌ABD,
∴∠BAD=∠PBD,∠ADC=∠BEA.
∵∠PBD+∠BPD=∠ADC=∠BEA,∠BEA+∠HAE=90°,
∴∠PBD+∠BPD+∠HAE=90°.
∵∠BPD=∠APH,
∴∠PBD+∠APH+∠HAE=90°.
又∵∠APH+∠PAH=90°,
∴∠PAH=∠PBD+∠HAE
∵∠BAD=∠PBD,
∴∠PAH=∠BAD+∠HAE,
∴∠PAH+∠BAD+∠HAE=60°,
∴∠PAH=30°,
∴在直角△APH中,PH=1/2AP