足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的．已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间

Question

足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的．已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数μ=0.70，球与横梁碰撞时的恢复系数e=0.70．
试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线）的夹角θ（小于90°）来表示．不计空气及重力的影响．

Answer 1

小圆表示横梁的横截面，大圆表示足球，O₂为其球心；O点为足球与横梁的碰撞点，设足球射到横梁上时球心速度的大小为v，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v′，方向用它与水平方向的夹角θ表示（如图）．以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy，y轴与O₂OO₁重合．以a0表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以a表示碰后速度的方向与y轴（负方向）的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角a的大小．以F_x表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，F_y表示横梁作用于足球的力在y方向的分量的大小，△t表示横梁与足球相互作用的时间，m表示足球的质量，有：
F_x△t=mv_0x-mv_x …①
F_y△t=mv_y-mv_0y…②
式中v_0x、v_0y、v_x和v_y分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小．
根据摩擦定律有
F_x=μF_y …③
由①②③式得
μ=(v0x−vx)/(vy+v0y)…④
根据恢复系数的定义有：
v_y=ev_0y …⑤
因 tanα₀=(v0x)/(v0y)…⑥
tanα=(vx)/(vy)…⑦
由⑤⑥⑦各式得：
tanα=(tanα0)/(e)-μ（1+(1)/(e)）：⑧
由图可知 φ=θ+α…⑨
若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有
φ≥90°… ⑩
在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时φ=90°由⑨式得
tan（90°-θ）=tanα…⑪
因足球是沿水平方向射到横梁上的，故α₀=θ，有
(1)/(tanθ)=(tanθ)/(e)-μ（1+(1)/(e)）…⑫
这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置θ所满足的方程．
解⑫式得：
 tanθ=(eμ(1+(1)/(e))±√(e2μ2(1+(1)/(e))2+4e))/(2)
代入有关数据得：
tanθ=1.6          
即 θ=58°           
现要求球落在球门线内，故要求θ≥58°            
答：球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向的夹角θ≥58°时才能使球心落在球门线内．