一道三棱锥的外接球问题已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱椎D-ABC的外接球表面积等于我看百度课件有个公式,把直三棱锥补成一个正方体,直径就是体

Question

一道三棱锥的外接球问题
已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱椎D-ABC的外接球表面积等于
我看百度课件有个公式,把直三棱锥补成一个正方体,直径就是体对角线,这样不能算吗

Answer 1

不用那么麻烦．
设矩形ABCD的两个相邻边长为a,b,
则ab=8,
从而2(a+b)≥4√(ab)=8√2,
当且仅当a=b=2√2,即ABCD是正方形时,周长最小．
设AC与BD的交点为O,
则无论沿对角线AC把△ACD折起多少度,总保持OA=OB=OC=OD,
从而　O就是三棱椎D-ABC的外接球的球心,OA就是半径R,即R=OA=4
所以　S球面=4πR²=64π