设V是n维欧几里得空间,内积记为(α,β),设T是V上的一个正交变换,记V1={α|Tα=α},V2={β|β=α-Tα,α∈V},证明：①V1,V2都是V的子空间；②V=V1⊕V2.

Question

设V是n维欧几里得空间,内积记为(α,β),设T是V上的一个正交变换,记V1={α|Tα=α},V2={β|β=α-Tα,α∈V},证明：
①V1,V2都是V的子空间；
②V=V1⊕V2.

Answer 1

①验证一个线性空间的非空子集是子空间,只需验证其对加法和数乘封闭.对任意α,β ∈ V1,有Tα = α,Tβ = β.由T是线性变换,有T(α+β) = Tα+Tβ = α+β,故α+β ∈ V1.又对任意k ∈ R,由T是线性变换,有T(kα) = k...