如图，给出四棱锥P-ABCD的直观图及其三视图(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦

Question

如图，给出四棱锥P-ABCD的直观图及其三视图
 
(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;
(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD
(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值. 

Answer 1

解:(1)由图可知四棱锥P-ABCD中有
①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)

②PA⊥面ABCD,      
③PA=AD=CD=2,  AB=1          5分
⑵ 由(1)知PA⊥面ABCD  ∴PA⊥CD
又在直角梯形ABCD中,AD⊥CD
而PA,AD 面PAD中, ∴CD⊥面PAD
CD 面PCD  
∴面PAD⊥面PCD                9分
⑶取PD中点F,连结EF;则EF
在 ,PA=AD,PA AD
∴AF⊥PD且
又由(2)知面PAD⊥面PCD
∴AF⊥面PCD
∴∠AEF为AE与面PCD所成的角          12分
在△AEF中, ∠AFE=90 ⁰ , ,EF=1
∴
即AE与面PCD所成角的余弦值为          14分
 (3)由E为PC中点  ∴E
由(2)知面PCD的一个法向量为
设AE与面PCD所成角为

即AE与面PCD所成角的余弦值为