如果正整数n有以下性质：n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数，那么n就称为“希望数”，则最小的希望数是215×320×512215×320×512．

Question

如果正整数n有以下性质：n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数，那么n就称为“希望数”，则最小的希望数是2¹⁵×3²⁰×5¹²2¹⁵×3²⁰×5¹²．

Answer 1

设n=2^a×3^b×5^c
a能被3和5整除，被2除余1，最小为15；
b能被2和5整除，被3除余2，b最小为20；
c能被2和3整除，被5除余2，c最小为12；
所以n最小为2¹⁵×3²⁰×5¹²；
(n)/(8)=（2⁶×3¹⁰×5⁶）²；
(n)/(9)=（2⁵×3⁶×5⁴）³；
(n)/(25)=（2³×3⁴×5²）⁵．