图甲为电视机中显像管的工作原理示意图，电子枪中的灯丝加热阴极使电子逸出，这些电子再经加速电场加速后，从O点进入由磁偏转线圈产生的偏转磁场中，经过偏转磁场后打到荧光屏MN上

Question

图甲为电视机中显像管的工作原理示意图，电子枪中的灯丝加热阴极使电子逸出，这些电子再经加速电场加速后，从O点进入由磁偏转线圈产生的偏转磁场中，经过偏转磁场后打到荧光屏MN上，使荧光屏发出荧光形成图象．不计逸出电子的初速度和重力，已知电子的质量为m、电荷量为e，加速电场的电压为U．偏转线圈产生的磁场分布在边长为L的正方形abcd区域内，磁场方向垂直纸面，且磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示．在每个周期内磁感应强度B都是从-B₀均匀变化到B₀．磁场区域的左边界的中点与O点重合，ab边与OO′平行，右边界bc与荧光屏之间的距离为s．由于磁场区域较小，且电子运动的速度很大，所以在每个电子通过磁场区域的过程中，可认为磁感应强度不变，即为匀强磁场，不计电子之间的相互作用．

（1）求电子射出电场时的速度大小．
（2）为使所有的电子都能从磁场的bc边射出，求偏转线圈产生磁场的磁感应强度的最大值．
（3）若所有的电子都能从bc边射出，求荧光屏上亮线的最大长度是多少？

Answer 1

（1）电子先经过加速电场加速，由动能定理：
qU=(1)/(2)mv²-0
v=√((1qU)/(m))
（2）当偏转线圈产生磁场的磁感应强度最大为B₀时，电子恰好从b点射出．
电子在磁场中发生偏转，洛仑兹力提供圆周运动向心力：
B₀qv=m(v2)/(R) 
由几何关系可知R2=L2+(R-(L)/(2))2，此时电子做圆周运动的半径为：
R=(5)/(4)L
则偏转线圈产生磁场的最大磁感应强度：B₀=(4mv)/(5qL)=(4m)/(5L)√((2mU)/(q))；
（3）电子从偏转磁场射出后做匀速直线运动，当它恰好从b点射出时，对应屏幕上的亮点离O′最远．
此时，电子的速度偏转角满足：sin(φ)/(2)=(1)/(√(5))
所以电子在荧光屏上亮线的最大长度：X=2stanφ+l=(8)/(3)s+L
答：（1）电子射出电场时的速度大小√((2qU)/(m))
（2）为使所有的电子都能从磁场的bc边射出，偏转线圈产生磁场的磁感应强度的最大值(4m)/(5L)√((2mU)/(q))
（3）若所有的电子都能从磁场的bc边射出时，荧光屏上亮线的最大长度是(8)/(3)s+L．