已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上（不包括端点），且∠DCE=45°，AB=4．（1）在图中找出两对相似三角形，并选取一对加以说明；（2）若AE=x，BD=y，试写出x与y的函数

Question

已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上（不包括端点），且∠DCE=45°，AB=4．
（1）在图中找出两对相似三角形，并选取一对加以说明；
（2）若AE=x，BD=y，试写出x与y的函数关系式并直接写出x的取值范围；
（3）试说明：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；
（4）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上（不包括端点），且∠DCE=30°，请探索当线段AD、DE、EB构成一个等腰三角形时，直接写出线段AD、DE、EB的比是多少？

Answer 1

（1）△AEC∽△CED，△AEC∽△BCD．∵∠ACD+∠DCE=∠ACD+45°，∴∠ACE=∠BDC，∴△AEC∽△BCD；（2）∵∠A=∠B=45°，∠AEC=∠DCB=45°+∠BCE，∴△AEC∽△BCD，∴BD•AE=AC2，∴BD•AE=AC2=12×AB2=8，y＝8x ...