（1）请观察：25=52，1225=352，112225=3352，11122225=33352…写出表示一般规律的等式，并加以证明．（2）26=52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两

Question

（1）请观察：25=5²，1225=35²，112225=335²，11122225=3335²…写出表示一般规律的等式，并加以证明．
（2）26=5²+1²，53=7²+2²，26×53=1378，1378=37²+3²．任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？
注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘．
瑞士数学家欧拉曾对26（2）的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和．即（a²+b²+c²十d²）（e²+f²+g²+h²）=A²+B²+C²+D²．这就是著名的欧拉恒等式．

Answer 1

（1）经观察，发现规律：

11…1

(n−1)个

22…2

n个

 5=（

33…3

(n−1)个

 5）²，
∴（

33…3

(n−1)个

 5）²=（

33…3

n个

+2）²=（(1)/(3)×

99…9

n个

+2）²，
=[(1)/(3)（10n-1）+2]²=（(10n+5)/(3)）²=(102n)/(9)+(10n+1)/(9)+(25)/(9)
=(102n−1)/(9)+(10n+1−1)/(9)+(25+2)/(9)=

11…1

2n个

+

11…1

(n+1)个

+3
=

11…1

(n−1)个

22…2

n个

5；

（2）一般地，设m=a²+b²，n=c²+d²，
则mn=（a²+b²）（c²+d²）=a²c²+b²d²+b²c²+a²d²=a²c²+b²d²+2abcd+b²c²-2abcd+a²d²=（ac+bd）²+（bc-ad）²或（ac-bd）²+（bc+ad）²．