如图，已知△ABC的外角∠EAC的平分线与△ABC的外接圆交于点D，以CD为直径的圆分别交BC，CA于点P、Q，求证：线段PQ平分△ABC的周长．

Question

如图，已知△ABC的外角∠EAC的平分线与△ABC的外接圆交于点D，以CD为直径的圆分别交BC，CA于点P、Q，求证：线段PQ平分△ABC的周长．

Answer 1

证：如图，连接DB，DP，DQ，PQ．
∵∠ABD=∠ACD，∠EAC=∠ABC+∠ACB，
∴∠EAC=∠DBC+∠DCB，即：2∠DAC=∠DBC+∠DCB；
又∠DAC=∠DBC，∴∠DBC=∠DCB，故△DBC为等腰三角形．
∵DP⊥BC，则CP=(1)/(2)BC．
在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理得：AC•BD=BC•AD+AB•CD，
∵BD=CD，∴AC-AB=(BC•AD)/(BD)＝(2BP•AD)/(BD)，
又DQ⊥AC，∴△ADQ∽△BDP，
∴(AQ)/(BP)＝(AD)/(BD)，即AQ=(BP•AD)/(BD)．
故AC-AB=2AQ，即AQ=(AC−AB)/(2)．
∴CQ+CP=（AC-AQ）+(1)/(2)BC=(AC−(AC−AB)/(2))+(1)/(2)BC=(1)/(2)（AB+BC+CA）．