10人有相应的10个指纹档案,每个指纹档案上都记录有相应人的指纹痕迹,并有检测指示灯和检测时的手指按扭.10人中某人把手指按在键钮上,若是他的档案,则指示灯出现绿色,否则出现红色.现在

Question

10人有相应的10个指纹档案,每个指纹档案上都记录有相应人的指纹痕迹,并有检测指示灯和检测时的手指按扭.10人中某人把手指按在键钮上,若是他的档案,则指示灯出现绿色,否则出现红色.现在这10人把手指按在10个指纹档案的键钮上去检测,规定一个人只能在一个档案上去检测,并且两个人不能在同一个档案上去检测,这时指示灯全部出现红色.这样的情况共有__________种.

Answer 1

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此题相当于：10个编号为1,2,3,…,10的球放入十个编号为1,2,3,…,10的盒中,要求每个盒中只盛一球,且号码均不相同,求放法总数.
设这种情况的n个号码时,方法数为an.第一步是安排第1号球,共有n-1种方法.此时,不妨设1号球安排在了第i(i≠1)号位置.再安排第i号球的位置,有两种情况：①第i号球在1号位置,此时剩余的n-2个球要放在n-2个盒中的要求依然是号码均不相同,故有an-2种方法；②第i号球不安排在1号位置,此时如同n-1个球放入n-1个盒中且号码均不相同,故有方法数为an-1.
　　所以,an=(n-1)(an-2+an-1).
　　当n=2时,a2=1；当n=3时,a3=2.所以,a4=3(a2+a3)=9,a5=4(a3+a4)=44,a6=5(a4+a5)=265,a7=6(a5+a6)=1854,a8=7(a6+a7)=14833,a9=8(a7+a8)=133496,a10=9(a8+a9)=1334961.
　　所以,这样的情况共有1334961种.