从1到100的自然数中任意取55个数,必定有两个数的差是10和12,但不一定有两个数的差是11,请说明理由.

Question

从1到100的自然数中任意取55个数,必定有两个数的差是10和12,但不一定有两个数的差是11,请说明理由.

Answer 1

反过来想,我们可以试着从1到100的自然数中抽出55个数,使它们任意两个数的差不能为10,或12,或11
先看10的情况,由于抽出任何一个大于10而小于91的数的同时,就有两个数不能再抽出来,而抽出任何一个小于等于10或大于等于91的数时,只有一个数不能再被抽出来,基于抽出尽量多的数的原则,我们应该先将1-10,91-100,这20个数抽出来
同时决定了11-20,81-90,这20个数不能再被抽出来,否则将不能满足我们任两个数的差不为10的要求
乘下的60个数中,我们应该抽出21-30和71-80这20个数
同时也决定了31-40和61-70这20个数不能再被抽出来
现在我们已经抽出40个数,有40个数被排除,剩下的是41-60,这二十个数
在这20个数中,我们任意抽出一个数,就会有一个数不能再被抽出,所以我们最多再抽出10个符合要求的数来
也就是说,我们最多抽出50个数,使它们任两个数的差不等于10,另外5个数,只能在不符合我们的要求的数中抽了,而一旦抽出任何一个不符合要求的数,就有
从1到100的自然数中,任意取55个数,必定有两个数的差是10的结论成立
再看12的
与10相同,我们可以先抽1-12和89-100这24个数
那么就有13-24和77-88这24个数不能被抽出来
接着我们再抽25-36和65-76这24个数
同样的,会有37-48和53-64这24个数不能再被抽出来
现在我们已经抽了48个数,并有48个数被排除
剩下的是49-52共4个数,就算我们把4个数全抽出来,也不能满足55个的要求,所以我们必然要从被排除的数中再抽出数来,而一旦抽出任何一个不符合我们的要求的数,就会有
从1到100的自然数中,任意取55个数,必定有两个数的差是12的结论成立
最后看11的情况
相同的,我们从1-100中,先抽出1-11和90-100,共22个数
那么就会有12-22和79-89,共22个数不能再被抽出来
我们再从中抽出23-33和68-78,共22个数
那么就会有34-44和57-67,共22个数被排除
现在我们已经得到44个数,且排除了44个数
剩下的是从45-56共12个数
这12个数中,我们只要随便去掉一个数,另外11个将无法找到任何两个数的差是11
现在我们一共正好得到55个数,说明了
从1到100的自然数中任意取55个数,不一定有两个数的差是11