怎样区分必要条件、充分条件和充要条件?

Question

怎样区分必要条件、充分条件和充要条件?

Answer 1

1.对充要条件的理解
对于命题“若p则q”,即p是条件,q为结论.
(1)如果已知p q,我们就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
例如,“若x=y,x2=y2”是一个真命题,可写成
x=y x2=y2
“x=y”是“x2=y2”的充分条件,
“x2=y2”是“x=y”的必要条件.
(2)如果既有p q,又有q p,就记作
p q.
这时,p既是q的充分条件,又是q的必要条件,我们就说p是q的充分必要条件,简称充要条件.
例如,命题p：x+2是无理数,
命题q：x是无理数.
由于“x+2是无理数” “x是无理数”,所以p是q的充要条件.
2.从逻辑推理关系上看
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系：
①若p q,但q p,则p是q的充分但不必要条件；
②若q p,但p q,则p是q的必要但不充分条件；
③若p q,但q p,则p是q的充要条件；
④若p q,且┒p ┒q,则p是q的充要条件；
⑤若p p,且q p,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.
3.从集合与集合之间关系上看
若条件p以集合A的形式出现,结论q以集合B的形式出现,则
①A B,则p是q的充分条件；
②若A B,则p是q的必要条件；
③若A＝B,则p是q的充要条件；
④若AB,且AB,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.
从集合的观点来判断充要条件的思考方法,可以进一步加深对充要条件的理解.
4.应用充分条件,必要条件,充要条件时须注意的问题.
(1)充分而不必要条件,必要而不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件,反映了条件p和结论q之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,要注意以下几点：
①确定条件是什么,结论是什么；
②尝试从条件推结论,结论推条件；
③确立条件是结论的什么条件；
④要证明命题的条件是主要的,就既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立,证明原命题即证明条件的充分性,证明逆命题即证明条件的必要性.
(2)对于充要条件,要熟悉它的同义词语.
在解题时常常遇到与充要条件同义的词语,如“当且仅当”“必须且只须”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言,对理解和把握数学知识是十分重要的