对任意一数求无穷次余弦值会得一常数,能严格证明吗?rt那个数为0.9998477415310881.......

Question

对任意一数求无穷次余弦值会得一常数,能严格证明吗?
rt
那个数为0.9998477415310881.......

Answer 1

完全可以.
假设 cos(a) ＝ a,a ≈ 0.73909...
记数列:A(n+1)＝cos(A(n)),A(0)为一实常数.
令数列 B(n) ＝A(n) － a
只需要证明到 lim B(n) ＝ 0 即可.
(1) 容易证明当n>2时有：A(n) ∈ [0,1].
(2)
B(n+1) ＝ A(n+1) － a
＝ cos( A(n) ) － a
＝ cos( B(n) + a ) － a
＝ cos(B(n))cos(a) －sin(B(n))sin(a) － a
＝ cos(B(n))cos(a) －sin(B(n))sin(a) － cos(a)
＝ cos(a) [cos(B(n))－1] －sin(B(n))sin(a)
＝ －cos(a) [ 2sin^2 (B(n)/2) ] －2 sin( B(n)/2 ) cos( B(n)/2 ) sin(a)
＝ －2sin( B(n)/2 ) [ cos(a) sin( B(n)/2) + cos( B(n)/2 ) sin(a) ]
＝ －2sin ( B(n)/2 ) sin( B(n)/2 + a )
A(n) ∈ [0,1]
===> B(n) ＝ A(n) － a ∈ [－a,1－a]
===> B(n)/2 ∈ [－a/2,(1－a)/2 ]
===> B(n)/2 + a ∈ [ a/2,(1+a)/2 ]
===> sin( B(n)/2 + a ) ≤ sin( (1+a)/2 ) < sin(1)
因此:
| B(n+1) |
＝ ｜－2sin ( B(n)/2 ) sin( B(n)/2 + a ) ｜
< ｜2sin ( B(n)/2｜* sin(1)
< ｜B(n)｜* sin(1)
由于sin(1)+∞）
即：lim | A(n)－a | ＝ 0 （n－>+∞）
===> lim ( A(n) －a ) ＝ 0
===> lim A(n) ＝ a