过双曲线x平方/a平方—y平方/b平方=1（a>0,b>0)的右焦点F做渐近线y=bx/a的垂线,垂足为M,与双曲线左右两支分别交于AB两点,则双曲线的离心率取值范围是

Question

过双曲线x平方/a平方—y平方/b平方=1（a>0,b>0)的右焦点F做渐近线y=bx/a的垂线,垂足为M,与双曲线左右两支分别交于AB两点,则双曲线的离心率取值范围是

Answer 1

【参考答案】1＜e＜√2

过双曲线右焦点F(c,0)作渐近线y=-bx/a的垂线AB
则直线AB方程是y=a(x-c)/b,
代入双曲线方程并整理得
[(a²)²+(b²)²]x²-2ca²x+a²[c²-(b²)²]=0.
∵ A,B在双曲线两支上,
∴ △=4c²(a²)²-4[(a²)²+(b²)²]a²[c²-(b²)²]>0,
又b²=c²-a²,
于是,得
c²