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如图:已知P为⊙O直径AB上任意一点,弦CD过P且与AB交成45°角.求证:PC2+PD2为定值.
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如图:已知P为⊙O直径AB上任意一点,弦CD过P且与AB交成45°角.求证:PC2+PD2为定值.


▼优质解答
答案和解析
证明:当点p与O点重合时,
PC2+PD2=2圆O的半径的平方
当点P为一般情况时,
作CM⊥AB于M,DN⊥AB于N,连接OC和OD,
可知∠NDP=∠MCP=45°
又OC=OD,则∠ODP=∠OCP
∴∠NDO=∠COM
∴Rt△ODN≌Rt△COM
∴ON=CM=PM,OM=ND=PN
又∵OC2=CM2+OM2,OD2=DN2+ON2
∴OC2=CM2+PN2,OD2=DN2+PM2
∴OC2+OD2=CM2+PN2+DN2+PM2=PC2+PD2,
因此PC2+PD2=2圆O的半径的平方(为定值).

PC2+PD2=2圆O的半径的平方
当点P为一般情况时,
作CM⊥AB于M,DN⊥AB于N,连接OC和OD,
可知∠NDP=∠MCP=45°
又OC=OD,则∠ODP=∠OCP
∴∠NDO=∠COM
∴Rt△ODN≌Rt△COM
∴ON=CM=PM,OM=ND=PN
又∵OC2=CM2+OM2,OD2=DN2+ON2
∴OC2=CM2+PN2,OD2=DN2+PM2
∴OC2+OD2=CM2+PN2+DN2+PM2=PC2+PD2,
因此PC2+PD2=2圆O的半径的平方(为定值).
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