已知A、B、C同时满足sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0，求证：cos2A+cos2B+cos2C为定值．

Question

已知A、B、C同时满足sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0，求证：cos²A+cos²B+cos²C为定值．

Answer 1

证明：先两式变形sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，再平方，
（sinα+sinβ）²=sin²γ，
①（cosα+cosβ）²=cos²γ，②
①+②化简得cos（α-β）=-(1)/(2)，③
②-①化简得，cos2γ=cos2α+cos2β+2cos（α+β），④
所以cos²α+cos²β+cos²γ
=(1+cos2α)/(2)+(1+cos2β)/(2)+(1+cos2γ)/(2)
=(3)/(2)+(cos2α+cos2β+cos2γ)/(2)，将④代入
=(3)/(2)+cos2α+cos2β+cos（α+β）
=(3)/(2)+cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）]+cos（α+β）
=(3)/(2)+2cos（α+β）cos（α-β）+cos（α+β），将③代入
=(3)/(2)
故cos²A+cos²B+cos²C为定值，值为(3)/(2)．