如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=22，侧棱AA1=4，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ∈R）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ

Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=2√(2)，侧棱AA₁=4，点D为AB的中点，点E在线段AA₁上，AE=λAA₁（λ∈R）．

（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B₁E；
（2）当λ为何值时，B₁E⊥面CDE．

Answer 1

证明：（1）∵AC=BC，点 D 为 AC 的中点，
∴CD⊥AB，
∵AA₁⊥平面 ABC，CD⊂平面 ABC，
∴AA₁⊥CD，
又AA₁⊂平面ABB₁A₁，AB⊂平面ABB₁A₁，AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
又B₁E⊂平面ABB₁A₁，
∴CD⊥B₁E．
（2）由题意，CD⊥平面A₁B，B₁E⊂平面A₁B，∴B₁E⊥CD，
B₁E⊥ED时，B₁E⊥面CDE，此时，△AED∽△A₁B₁E，
∴(A1E)/(2√(2))=(√(2))/(AE)，∴A₁E•AE=8，
∴4λ•（8-4λ）=8，
∴λ=1-(√(2))/(2)．